LA SUCESIÓN
DE FIBONACCI
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144....
A finales del siglo XII, la república de Pisa es una gran
potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de África. En una de
estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de
Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es
educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene
su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de
los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro
actual sistema de numeración posicional.
Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la
Historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto,
Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los
matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los
Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.
De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de
aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente
sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el
Liber abaci, la primera suma matemática de la Edad Media.
En él aparecen por primera vez en Occidente, las nueve
cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas
claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros
como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y
compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como
instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo
grado.
Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una
curiosa sucesión de números:
1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....
Que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido
"problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo
de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:
"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad
fértil, a partir de ese momento cada vez
engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser
fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al
cabo de un determinado número de meses?”
Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55;
89, 144....
Es fácil ver que cada término es la suma de los dos anteriores.
Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y
el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido
por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo. =1.618039....
Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a
todos los biólogos.
Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de
las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada
una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La
distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce
siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.
El número de espirales en numerosas flores y frutos también se
ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles
tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.
Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.
Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de
espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de
Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.
Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos
genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.
Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero
Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números
de esta sucesión.
Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de
la sucesión.
Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo
Fibonacci de dimensiones 2 x1.
Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un
nuevo rectángulo de 3x2.
Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un
rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...
Podemos llegar a rectángulo de 34x55, de 55x89...
Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al
rectángulo áureo.
Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas
dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al rectángulo de dimensiones
2x1, al de 3x2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.
Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una
curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero. La espiral de
nuestro logotipo.
Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el
crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes...
Es decir, la espiral del crecimiento y la forma del reino animal.
Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento
en la Naturaleza.
